1. Giá trị riêng λ {\displaystyle \lambda } chính là nghiệm của phương trình det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det(A-{\lambda }I)=0} (1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.
2. Một giá trị riêng có thể có nhiều vectơ riêng.
3. Mỗi vectơ riêng chỉ ứng với một giá trị riêng duy nhất.
4. Ma trận A {\displaystyle A} là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó (trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến số thực mà là biến ma trận)
5. Nếu λ = 0 {\displaystyle {\lambda }=0} là giá trị riêng của ma trận A {\displaystyle A} thì A {\displaystyle A} không khả nghịch. Ngược lại, nếu mọi GTR của A {\displaystyle A} đều khác không thì A {\displaystyle A} khả nghịch.
6. Nếu λ {\displaystyle {\lambda }} là GTR của ma trận A {\displaystyle A} thì λ k {\displaystyle {\lambda }^{k}} là giá trị riêng của ma trận A k {\displaystyle A^{k}}

Chứng minh

1. Số λ {\displaystyle \lambda } là trị riêng của A {\displaystyle A} khi và chỉ khi A u = λ u ( u ≠ 0 ) {\displaystyle Au={\lambda }u(u\neq 0)} . Suy ra: hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ( A − λ I ) u = 0 {\displaystyle (A-{\lambda }I)u=0} có nghiệm u ≠ 0 ⇔ d e t ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle u{\neq }0\Leftrightarrow det(A-{\lambda }I)=0} .

2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình ( A − λ I ) u = 0 {\displaystyle (A-{\lambda }I)u=0} có vô số nghiệm.

3. Giả sử vectơ riêng u 1 {\displaystyle u_{1}} ứng với 2 trị riêng λ 1 ; λ 2 . {\displaystyle {\lambda }_{1};{\lambda }_{2}.}

Ta cần chứng minh: λ 1 = λ 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}={\lambda }_{2}} . Thật vậy, ta có:

A u 1 = λ 1 u 1 ; A u 1 = λ 2 u 1 ⇒ λ 1 u 1 − λ 2 u 1 = 0 ⇒ ( λ 1 − λ 2 ) u 1 = 0 {\displaystyle Au_{1}={\lambda }_{1}u_{1};Au_{1}={\lambda }_{2}u_{1}\Rightarrow {\lambda }_{1}u_{1}-{\lambda }_{2}u_{1}=0\Rightarrow ({\lambda }_{1}-{\lambda }_{2})u_{1}=0}

Mà: u 1 ≠ 0 {\displaystyle u_{1}\neq 0} . Do đó: λ 1 − λ 2 = 0 {\displaystyle {\lambda }_{1}-{\lambda }_{2}=0}

4. Ta có:

P ( λ ) = d e t ( A − λ I ) ⇒ P ( A ) = d e t ( A − A . I ) = d e t ( A − A ) = 0 {\displaystyle P({\lambda })=det(A-{\lambda }I)\Rightarrow P(A)=det(A-A.I)=det(A-A)=0}

5. Do λ = 0 {\displaystyle {\lambda }=0} là GTR của ma trận A {\displaystyle A} . Do đó:

P ( 0 ) = d e t ( A − 0. I ) = 0 ⇒ d e t ( A ) = 0. {\displaystyle P(0)=det(A-0.I)=0\Rightarrow det(A)=0.}

Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).

6. Ta có A u = λ u {\displaystyle Au={\lambda }u} . Do đó

A 2 u = ( A . A ) . u = A . ( A . u ) = A . ( λ u ) = λ . A u = λ 2 u {\displaystyle A^{2}u=(A.A).u=A.(A.u)=A.({\lambda }u)={\lambda }.Au={\lambda }^{2}u} .

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh | A − a I | {\displaystyle |A-aI|} . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng P ( λ ) = | A − λ I {\displaystyle P({\lambda })=|A-{\lambda }I} của ma trận A. Sau đó, tính giá trị của P ( a ) {\displaystyle P(a)} .